[精品]《复变函数与积分变换》教学大纲

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内容摘要

《复变函数与积分变换》教学大纲 一、基本信息 课程名称 复变函数与积分变换 英文名称 Complex function and integral transformation 总学时 48 理论学时 48 实验学 时 课程编 号 课程类 型 MATH2605 科类基础课 实践学 时 学分 3 预修课 程 高等数学 适用对 自动化、电气、电 象 信 课程简介 《复变函数与积分变换》是工科类及应用理科类有关专业继 高等数学之后的又一门数学基础课。该课程主要研究复变数之间 的相互依赖关系与性质,以及 Fourier 变换和 Laplace 变换的基 本理论与在工程技术中常用的数学方法。通过本课程的学习可巩 固和复习高等数学的基础知识,为学习有关的后继专业课程及以 后的实际应用提供必要的基础。 二、教学目标及任务 《复变函数与积分变换》是电类及与电有关的理工科专业本科生的必修工程数学课。 本课程分两部分。第一部分主要研究复变函数中的基本理论以及有关的工程技术中的常用数 学方法。第二部分是积分变换主要介绍傅里叶积分变换、拉普拉斯变换及其有关方法,其主 要任务是培养学生 1.树立正确的数学思想,理论联系实际,具有创新精神。2.理解并掌 握解析函数与积分变换中的基本概念、基本定理、基本理论。3.掌握解析函数与积分变换 在控制、电工等工程领域中的数学方法,提高理论联系实际、建立数学模型的能力。4.通 过课后作业和答疑,掌握有关理论及解题技巧。 5.了解复变函数与积分变换的新理论、新 方法及发展趋向。 三、学时分配 章节 章节内容 绪论 复变函数引论 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数到积分 第四章 级数 第五章 留数 第七章 Fourier 变换 第八章 Laplace 变换 合计 讲课 实验 实践 合计 1 5 6 8 7 7 7 7 48 1 5 6 8 7 7 7 7 48 四、教学内容及教学要求 第一章 复数与复变函数 主要内容:1.复数的概念、运算及其各种表示法 2.复变函数的概念及其极限、连续 习题要点:复数的各种表示法相互转换,模和辐角的计算;复变函数所确定的映射 本章重点:对复变函数定义的理解应从“函数”和“映射”两个角度来理解。 本章难点:引进新数“无穷远点” 教学要求:复数的概念、运算及表示是今后学习的基础,要熟练掌握,灵活运用。 复变函数及其极限、连续是《高等数学》中相应概念的推广,有相似之处,又有不同点; 既有联系又有区别。 第二章 解析函数 主要内容:1.介绍复变函数的导数和解析函数的基本概念 2.给出解析函数判别的充要条件 3.复变初等函数的性质进行讨论。 本章重点:正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念 本章难点:初等解析函数如对数函数到多值性。 教学要求:掌握判断复变函数可导和解析的方法;对复变初等函数,要了解它们的定义 和主要性质,特别是在复数范围内,与实变初等函数不同的性质。 第三章 复变函数的积分 主要内容: 1.主要介绍复积分的概念、性质和计算法。 2.介绍关于解析函数的柯西积分定理以及推广形式——复合闭路定理。 3 建立柯西积分公式和高阶导数公式。 4.讨论解析函数与调和函数的关系。 习题要点:复变函数积分的各种计算法,及其适用条件;已知一个调和函数构造解析函 数的方法。 本章重点:柯西积分定理和柯西积分公式 本章难点:柯西积分定理和柯西积分公式在多连通区域上的推广。 教学要求:要透彻理解和熟练掌握柯西积分定理和柯西积分公式,它们是探讨解析函 数性质的理论基础,在以后的各章节中,直接或间接地经常要用到它们。掌 握解析函数和调和函数的关系。 第四章 级数 主要内容:1.介绍复数项和复变函数项级数的一些基本概念和性质 2.介绍复变函数项级数中的幂级数和 taylor 展开定理 3.介绍由正、负整次幂组成的洛朗级数,并介绍如何将解析函数展开成幂级 数和洛朗级数 本章重点:洛朗级数的概念及洛朗展开定理 本章难点:初等解析函数的洛朗展开求法 教学要求:理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念;了解幂级数收敛的概念,会 求收敛半径。理解 taylor 展开定理和熟练掌握洛朗定理,会用间接展开法将 简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数。 第五章 留数 主要内容:1.孤立奇点的分类及各种判别法 2.留数的基本概念和留数定理 3.留数在定积分计算中的应用,主要讨论三种类型的实积分的计算。 习题要点:用各种方法判断孤立奇点的类型,求极点处的留数,利用留数定理计算实积 分 本章重点:留数定理 本章难点:本性奇点的概念;留数的应用 教学要求:理解孤立奇点的分类(不包括无穷远点);理解留数概念,掌握极点处留数 的求法(不包括无穷远点);掌握留数定理;掌握用留数法计算实积分。 第七章 Fourier 变换 主要内容:1. Fourier 级数的复指数形式表示 2. Fourier 积分公式和 Fourier 变换的定义 3.单位脉冲函数的引入及其性质和其 Fourier 变换 4. Fourier 变换的性质和卷积的概念,卷积定理 习题要点:求各种函数的 Fourier 变换 本章重点:Fourier 变换的概念 本章难点:对单位脉冲函数的理解 教学要求:深刻理解 Fourier 变换的概念及其实质;熟记 Fourier 变换的公式及其重要性 质;能迅速而准确的计算各种函数的 Fourier 变换;理解并灵活应用卷积定理。 第八章 Laplace 变换 主要内容:1. Laplace 变换的定义和存在定理 2. Laplace 变换的性质和卷积定理 3. Laplace 逆变换 4. 常微分方程的 Laplace 变换解法 习题要点:求常用函数的 Laplace 变换和逆变换;用 Laplace 变换求解常微分方程。 本章重点:Laplace 变换的概念和求法 本章难点:Laplace 变换的性质 教学要求:深刻理解 Laplace 变换和 Fourier 变换的关系;能迅速而准确的求出一些函 数的 Laplace 变换;熟记并能熟练的应用 Laplace 变换的性质,进而加深对 Laplace 变换的理解;理解卷积定理;能熟练的利用 Laplace 变换求解常微 分方程和方程组,并深刻理解解题过程中由微分方程转化为代数方程的实 质,这是 Laplace 变换法的关键。 五、考核方式及要求 采用累加式的考试方法,即课程到总成绩由以下几部分构成: 平时作业及课堂提问占 30% 期末考试占 70% 六、推荐教材及教学参考书 建议选用符合本专业的培养目标,相对稳定的国家、省级精品教材、面向 21 世纪教材, 近 3 年出版(再版)的新教材和外语原版教材。 教 材:《 复变函数与积分变换 》,王忠仁 张静 编著,高等教育出版社,2015 年,第二版,标准书号:043008。 参考书:《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室编著,高等教育出版社,1996 年,第四版 标准书号:19546。 《积分变换》,东南大学数学系编著,高等教育出版社,2003 年,第四版

《复变函数与积分变换》教学大纲 第1页 第1页 / 共3页


《复变函数与积分变换》教学大纲 第2页 第2页 / 共3页


《复变函数与积分变换》教学大纲 第3页 第3页 / 共3页


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