[精品]2019年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析

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2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四 【试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟】 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. 已知集合 { 2, 1,0,1,2} A    , { | x x B   ,则 A B  ( ) 1} A.  0 B.  1,1 C.  2,2 D.   2, 1,1,2   2. 已知 z  i 2 i  1 ,且 z 的共轭复数为 z ,则 z z  ( ) A. 2 B. 1 C. i D.  2i 3. 某校高三年级共有 1200 名学生,且各班学生的整体水平基本一样。下图是该校高三年级的某个 班级在一次月考中,全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。则下列说法中一定正确的是 ( )。 A. 该班级在这次月考中,及格(分数大于等于 90 分)的人数为 48 人 B. 该校高三年级在这次月考中,有 720 人的数学分数不低于 115 分 C. 该班级这次月考中,数学分数的中位数在[115,125)内 1 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 D. 该校高三年级在这次月考中,数学分数的中位数在[115,125)内 4. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 1 a  , 3 12 S  ,则 6a  ( 2 ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 已知函数  f x    2sin 2 x       1  0,       2    ,若  f x 1   f x = 2    1 x 1 x  ,且 1 x 2  x 的 2 最小值为  2 , f   12      3 ,则( ) A. C.    , 1 2 5  12   1,    6 B. 1 ,   2    12 D.    1,  3 6. 已知圆 C:  x  2 2  2 y ( )  与直线 : l kx 4     交于 A,B 两点,则 AB 的取值范围是 1 0 y k A. 0,2 2   B.  0,4 C.   2, 4   D.   2 2, 4   7. 执行如图所示的程序框图,若输入的 1x  时,则输出的 y  ( ) 2 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 8. 在棱长为 2 的正方体 ABCD A B C D 1 1 1  中, ,M N 分别是 1 ,AA CC 的中点,给出下列命题:① BN  1 1 平面 1MND ;②平面 MNA  平面 ABN ;③平面 1MND 截该正方体所得截面的面积为 6 。其中是真 命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 有一道条件不完整的题目:“已知函数  f x  x x 1, ln     x ,    x 0  0 则   1f f     _________。” 已知该题目的答案是 2e  ,现有如下四个式子:①sin 1x  ;② 1x  ;③ 1x  ;④ 1xe  。则 可以作为 0x  时的解析式的是( )。 A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 在 ABC 3 1  2 b  2 2 c 中,内角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ,且 2a  , 2 2 cos A b  cos C c  cos B ,则 的最大值是( ) A. 2 B. 2 2 C. 2 2+ 3 D. 4 3 11. 已知 F 为双曲线 :E 2 2 x a  2 2 y b  1 ( a  b ,0  )0 的右焦点,若在 E 的右支上存在点 P ,使得 PF 中 点到原点的距离大于等于点 P 到 F 的距离,则 E 的离心率的取值范围是( ) A. (1,3) B.  1,3 C.  2,3 D.  3,  3 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 12. 已知定义在 R 上的偶函数 ( ) 对 x  R ,不等式   x e f e axf ax - f x ,其导函数为    x e ax   - f x x 。当 0x  时,不等式   x xf     1 f x  。若 恒成立,则正整数a 的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知实数 ,x y 满足不等式组 0 x y 4    ≤   x y 0 ≥  y 1  ≥  ,则 2  z x  的最小值为___________。 3 y 14. 已知半径为 2 的球被截去两部分后,形成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 _________。 15. 一名大学生在国庆节放假的时候,从 10 月 1 日到 10 月 4 日去电影院看《战狼 2》等四部最近热 播的电影,每天一部。设这四部电影分别为 A,B,C,D,现在了解到:①1 号不看 A,B;②2 号不 看 A,D;③3 号不看 B,D;④4 号不看 A,B;⑤若 1 号不看 D,则 3 号不看 A。根据以上情况,可 以知道 C 是_____号看。 16. 在平行四边形 ABCD 中,  AE   AD    交于点O ,则  AO  的最大值是__________。 AF  DF ,  DC  0  0     1 ,且 3  ,若 AF 与 BE 4 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须做 答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知{ }na 是递增的等比数列,若 3 a a 5 a  ,且 1 20 5, 4 (Ⅰ)求{ }na 的前n 项和 nS ; a a 成等差数列。 2 , 3 (Ⅱ)设 b n  1  2 S n ,且数列{ }nb 的前n 项和为 nT ,求证: 1 3 nT  。 1 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 D ABC  中,O 为线段 AC 上一点,平面 ADC  平面 ABC ,且  等腰直角三角形,斜边 AO  4 2 。 (Ⅰ)求证: AC BD ; (Ⅱ)将 BDO 绕 DO 旋转一周,求所得旋转体的体积。 19. (本小题满分 12 分) ADO ABO  , 为 5 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 为了进一步提升教育教学质量,为广大教师提供展示、交流、学习的机会,某学校从该校的教师中, 随机抽取 15 位教师参加优质课竞赛活动。本次活动有“课堂教学”和“说课”两个阶段,每个阶段都采用 10 分制评分标准。学校根据两个阶段的综合得分,给予参赛者一定的精神和物质奖励。现知 15 位参 赛者的两个阶段的得分情况如下图: (Ⅰ)求这 15 位参赛者的“说课”得分的平均值(精确到 0.01); (Ⅱ)在“课堂教学”得分大于 9.5 分的参赛者中,随机抽取 2 位,则至少有一位参赛者的“说课” 得分大于 9.6 分的概率。 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 M : 2 2 y a  2 2 x b  1  a   上的点到原点 O 的距离最小值为 2 3 b 3 0  ,且 M 的离心率 e  。 6 3 (Ⅰ)求 M 的标准方程; (Ⅱ)若直线l 与圆 C x : 2 2 y  相切,且与 M 交于 ,P Q 两点,则 POQ 1 是否为定值,若是, 求出该定值。若不是,请说明理由。 6 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f x ( )  1 2 x  a ln x ( a  R 。 ) (Ⅰ)讨论 ( ) f x 的单调性; (Ⅱ)若 ,x x 1 2  x 1 x 是 ( ) x f x 的两个零点,求证: 2 2   x 1  1a  a 。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修 4-4 坐标系与参数方程选讲] (10 分) 在直角坐标系 xOy中,直线l 的参数 方程为  x   2   y 2 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 E 的极坐标方程为   2- 2 sin 2+ t (t 为参数),若以原点为极点, x 轴正 t 2  m cos   m  。 0  (Ⅰ)若直线l 上 ,A B 两点对应的参数分别为 2 和 2 ,求 AB ; (Ⅱ)若直线l 与 E 交于 ,C D 两点,点 P 坐标为 0,2 。是否存在 m ,使得 PC PD  8 2 , 若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。 23. [选修 4—5:不等式选讲](10 分) f x 已知函数 ( ) | 2  x 1|   | x 1|  。 (Ⅰ)解关于 x 的不等式 ( ) 4 f x  ; (Ⅱ)若函数 )(xf 的最小值为 m ,且3 q  12 p  2 mpq  ,p q R ,求证:  p q  。 9 7 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 答案与解析 1 C 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 A 9 D 10 B 11 B 12 B 1. C 【解析】由 1 x  ,可得 1x  或 x   ,所以 1  A B    2,2 ,故选 C。 【命题依据】集合的基本运算是全国卷的高频考点,同时常与绝对值不等式交汇。 2. A 【解析】∵ z  i 2 i  1  i i 2 (1  i )(1   ) i ) (1   2 2  2 2 i ,则 z   2 2  2 2 i , 故 z z   ,故选 A。 2 【命题依据】复数概念、复数的运算是高考高频考点,考查难度不大。 3. C 【解析】由图可知,该班级数学分数大于等于 95 分的人 数是 46 人,而大于等于 90 分的不确定, 故 A 错;通过该班级的数学分数,可以去估计该校高三年级的数学分数的分布情况,但不是确定的结 果,故 B,D 不一定正确;对于 C,因为该班人数是 50,75 分到 115 分的人数是 20 人,而在[115, 125)内有 14 人,故中位数在[115,125)内,故 C 正确; 所以选 C。 【命题依据】近几年高考在选填题中,对统计图表的考查频率比较高,主要考查学生的数据处理 核心素养。 4. C S 【解析】因为 3  a 1  a 2  a 3  ,所以 2 a 23 a  ,所以 4 d  a 2  a 1  , 2 8 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 a 所以 6  a d 1 5   。 12 【命题依据】等差数列、等比数列是高考必考内容,主要考查其通项公式和前 n 项和问题。 5. D 【解析】由题意可得 T  2 2  ,所以T  ,所以 1 , 即   f x   2sin 2  x   1  ,又因为 f   12      3 ,所以sin      6    1 , 因为  ,所以  2  。故选 D。  3 【命题依据】三角函数的图象和性质是高考的必考内容,主要涉及到对称轴、对称中心等知识。 6. D 【解析】因为l 过定点  1,1P ,且点 P 在圆C 内,所以直线l 恒与C 相交, 当 P 为弦 AB 的中点时,此时弦 AB 最短,又 CP   2 2 1  1   , 2 则 AB min  2 4 2   2 2 , 当 AB 过圆心C 时,此时 AB  ,故选 D。 4 max 【命题依据】在直线与圆的位置关系的考查中,弦长问题、切线问题是常考知识。 7. C 【解析】执行程序框图时,每次循环时 y 的取值是偶数, x 的取值是奇数,且 x 比 y 大 1,当 2019 ,此时跳出循环,执行“  ”得 2020 时, 2018 y  ,故选 C。 y  y  2 x y x  【命题依据】程序框图是高考的高频考点,一般属于中档难度。 8. A 【解析】对于①,因为 BN  平面 MH AN ,垂足为 H ,则由面面垂直性质定理,可知 MH AB ,又 MA 1MND ,故错误;对于②,若平面 MNA  平面 ABN ,过 M 作 AB ,则 AB  平面 AMN , 9 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 即 AB AN ,此时矛盾,故②错;对于③,平面 1MND 截该正方体所得截面是四边形 1D MBN ,该四 边形是边长为 5 的菱形, 则其面积 S  1 2 D B MN 1  1 2 3 2 2   2   2 6 ,故③错 。综上所述:选 A。 【命题依据】空间立体几何知识在高考的选填题中出现 2 题,而空间点线面问题、截面问题是常 考知识,尤其近年来,截面问题更是热点问题。 9. D 【解析】因为  1 f  ,且   1 1 f  f      ,所以   2 e f    , 1 e 又因为   f e e  ,所以①②③④均可作为 0x  时的解析式,故选 D。 1 【命题依据】分段函数求值问题一直是高考的常客,而新的考纲对开放性问题的考查又有所提升, 意在拓宽学生的开放性思维。 10. B 【解析】由 2 2 cos A b  cos C c  cos B ,可化为 2 cos a A b  cos C c  cos B , 由正弦定理可得 2 sin cos A A  sin cos B C  sin cos C B , 即 2 sin cos A A  sin  B C +  ,即 2 sin cos A A  sin A , 因为sin 0A  ,所以 cos A  ,即 2 2 A   , 4 所以 a sin A  2 2 2  2 2 ,所以 3 1  2 b  c   2 2 6+ 2 sin  B  2sin C   6   2 sin B  2sin  B  4       6 sin B  2 cos B =2 2     3 2 B sin - 1 2 cos B      2 2 sin    B   6    10 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 因为 B 30,    4     ,所以当 2 B   时, 3 1  3 2 b  2 2 c 取得最大值,最大值为 2 2 。 故选 B。 【命题依据】三角形正弦定理、余弦定理及其三角恒等变形等知识一直是高考的必考内容,近年 来难度有所提升。 11. B 【解析】设 PF 中点为 M , E 的左焦点为 H ,由题意知 OM PF , 当点 P 异于 E 的右顶点时,连接 PH ,则由三角形中位线性质,可得 1 2 PH PF , 即 -PH PF PF ,则 2a PF ,又因为 PF c a   , 所以 2a c a   ,即1   。 3 c a 当点 P 是 E 的右顶点时,则 OM a   c a  2 , PF c a   , 由题意得 a  c a  2   ,即1 c a   。 3 c a 综上所述:1   ,故选 B。 3 c a 【关键点拨】解答此题的关键点是:①要连接点 P 与左焦点,利用双曲线的定义;②利用右支上 的点到右焦点的距离最小值是右顶点到右焦点的距离;③要对点 P 进行讨论。 【命题依据】双曲线的简单几何性质在高考中是属于必考内容,尤其离心率更是热点和难点。 12. B 【解析】因为   x xf     1 f x  ,即   x xf     1 0 f x   , 令  F x    x f x    ,则    1 F x     xf    x    1 0 f x   , 11 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 又因为 ( ) f x 是在 R 上的偶函数,所以  F x 是在 R 上的奇函数, 所以  F x 是在 R 上的单调递增函数, 又因为  x e f e x  axf ax -    x e ax - ,可化为  f e x  x e    1   ax f ax      1   , 即  xF e   F ax   ,又因为  F x 是在 R 上的单调递增函数, 所以 - xe ax  恒成立,令   g x 0  -x e ax ,则    g x  -x e a , 所以   g x 在  ,ln a  单调递减,在 ln ,a  上单调递增,  所以  min g x a a   ln a  ,则1 ln 0a  ,所以 0 a e   ,故选 B。 0 【关键点拨】关键点是构造新函数  F x    x f x    1    ,再利用新函数的单调性转化不等式。 【命题依据】函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等问题是高考的热点和难点,难度比较大。 13. -2 【解析】由题可知,不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分. 联立直线方程可得点 ( 1, 1),   A B (5, 1),  C (2,2) ,平移直线 2 x y 3  ,易知 2  0 z x  在点 C 3 y 处取得最小值,此时 min z   . 2 【解题技巧】若不等式组对应的平面区域是一个多边形,则线性目标函数通常在其顶点处取得最 值,因此,本题可以直接求出三个顶点坐标,再代入目标函数,即可求出最大值与最小值。 【命题依据】简单线性规划问题在高考中属于简单题型,考查的目标函数多为线性目标函数。 12 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 14. 18 【解析】由题意可知,该几何体直观图如图所示: 所以该几何体的表面积 S   3 4 R 4  2 +6  1 4 2 R  =18  。 【关键点拨】是得到该几何体的直观图,其次理解几何体表面积的概念。 【命题依据】全国卷对三视图的考查,主要以圆柱、圆锥、棱柱、棱锥为背景命题,设问角度一 般是求几何体的表面积、体积等。 15. 4 【解析】设“√”代表看;“×”代表不看,列表如下: A × × √ × 1 号 2 号 3 号 4 号 B × √ × × C × × × √ D √ × × × 因为每一列,每一行只能出现一个“√”,故是 4 号去看 C 部电影。 【命题依据】推理与证明在高考中出现的频率不是太高,一般难度都是易或中档。 16. 3 2 13 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 【解析】设   AB a AD b   ,   , 因为 , ,B O E 三点共线,则   AO xAE   1      x AB x b    1     x a ,  AO  AF 设  m   ,即 AO mAF  ,则   AO m AD DF       mb m a  ,   所以 x m 1    m x      ,消去 x 可得 m  1    ,因为 3  , 所以 m  3  2 1 3    3 1    3  2 3 1   3   3 2 ,当且仅当  时,取得等号。 3 3  AO  的最大值是 3 2 AF 。 所以 【关键点拨】①利用 , ,B O E 三点共线和 ,  ,A O F 三点共线;②利用两组三点共线表示出向量 AO ; ③利用基本不等式。 【命题依据】平面向量一直是高考考查的重点知识,难度相对简单,但近年来对平面向量的考查 难度有所提升。尤其是考查数量积取值范围、模长范围等问题时,难度是比较大的。 17. 解:(Ⅰ)设{ }na 的公比为 ( q q  , 1) a 由 1 5, 4 a a 成等差数列,可得 2 2 , 3 5 = + a a a ,即 2 1 3 a q 5 1 =2 +2 a 1 2 a q ,则 22 -5 +2=0 1 q q 所以 q  或 2 q  ,因为{ }na 是递增的等比数列,所以 2 q  , 1 2 a 又因为 3 a 5  ,可得 35 20 a  ,即 3 20 a  ,所以 1 1 a  , 4 所以 nS  1   1 n  2  2 1   n 2  1 ; , 14 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 (Ⅱ)由(1)可得 b  n 1 n  2 1 又因为 b  n 1 n  2 1  1 n 2 , ∴ nT   1 2 2    1 2       n    1 2     综上所述: 1 3 nT  。 1  0 ,所以数列{ }nT 是递增数列,所以 nT T 1  。 1 3 n        1 2  1     1  1 2    1 2 1   n    1 2     1 。 【关键点拨】证明 1 3 nT 1  时,一般思路是直接求解 nT ,再利用 nT 的表达式进行证明,当 nT 的 表达式不易求解时,一般采用放缩思想进行求证,而在文科数学中,常常利用数列 nb 的单调性进行 放缩或将 nb 放缩成常见的数列。 【命题依据】文科近几年 17 题主要考查了解三角形问题,而今年 17 题考查数列的可能性很大, 而放缩思想在数列中的应用是很多学生容易忽视的。 18. (Ⅰ)证明:取 AO 中点为 E ,连 ,DE BE ,如图 因为 AD DO AB BO  ,  , 所以 DE  AC BE ,  AC ,且 DE BE E =  ,又 DE BE , 平面 BDE , 所以 AC  平面 BDE ,又因为 BD  平面 BDE , 所以 AC BD 。 15 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 DE AC ,又因为平面 ADC  平面 ABC ,且平面 ADC  平面 = ABC AC , 所以 DE  平面 ABC ,所以三角形 BDE 为直角三角形, 又因为  ADO ABO  , 为等腰直角三角形,斜边 AO  4 2 , 所以 = BO DO  , 4 DE  2 2 , BE  2 2 , 所以在 Rt BDE  中,可得 BD  , 4 所以 BDO 是边长为 4 的等边三角形, 取 DO 中点为 F ,连 BF ,可知 BF  2 3 , 所以将 BDO 绕 DO 旋转一周,所得 旋转体是以 2 3 为底面半径,2 为高的两个公共底面的圆锥。 所以该几何体的体积 V 12       3 2  2 3 2  16  。 【命题依据】线面垂直、空间几何体的体积等问题是高考必考内容,而对于旋转体的体积问题是 很多学生容易忽视的问题。 19. 解:(Ⅰ)这 15 位参赛者的“说课”阶段得分分别为:3 个 9.1 分,2 个 9.2 分,1 个 9.3 分,2 个 9.4 分,1 个 9.5 分,3 个 9.6 分,1 个 9.7 分,2 个 9.8 分. 所以 15 位参赛者的“说课”阶段得分的平均分为: 3 9.1 2 9.2 9.3 2 9.4 9.5 3 9.6 9.7 2 9.8 9.43              15 ; (Ⅱ)由图可知,设参赛者“课堂教学”得分为 x ,“说课”得分为 y ,用坐标 ,x y 表示每位参赛者  两个阶段得分。 则满足“课堂教学”得分大于 9.5 分的坐标为: 9.6,9.1 ,   9.8,9.8 共有 6 位,满足“说课”得分大于 9.6 分的有   9.6,9.5 , 9.7,9.2 ,    9.6,9.8 , 9.8,9.8 ,设 1  2 9.7,9.6 ,  9.6,9.8 ,  A A A A 分别表示“说 , , , 3 4 课”得分不大于 9.6 分的参赛者, 1 2 ,B B 分别表示“说课”得分大于 9.6 分的参赛者。 从 这 6 位 参 赛 者 中 任 取 2 位 , 有 如 下 情 况 :  A A 1 2 ,   , A A 1 3 ,   , A A 1 4 ,  , 16 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析   A B 1 1 , A B 4 1 ,  ,   ,  A B , 1 2   , A B 4 2 ,    , A A 2 3 ,   , A A 2 4 ,   , A B 2 1 ,   , A B 2 2 ,  ,  A A 3 4 ,   , A B 3 1 ,   , A B 3 2 ,  , B B ,共 15 种,满足至少有一位参赛者的“说课”得分大于 9.6 分的 有 9 种,所 1 , 2 以至少有一位参赛者的“说课”得分大于 9.6 分的概率 P  9 15  。 3 5 【关键点拨】关 键点是理解题目意思和识别统计图表所表达的意思。 【命题依据】统计与概率在高考中的考查越来越注重对数据的处理,尤其是借助于统计图表将问 题呈现。而样本的数据特征和古典概型依然是考查的热点和重点。 20. 解:(Ⅰ)由题意可知 2 3 3 b  ,又因为 e  , 6 3 所以 c a  ,即 6 3 2 2 c a  ,因为 2 a 2 3  2 b 所以 2 a b ,即 2 23 a    , 4 43 3 2  , c 所以 M 的标准方程是  ; 1 2 y 4 2 x 4 3 (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,由相切可得l 的方程为 1x  或 -1 x  , 将 1x  代入 M 的方程,可得 y   ,不妨设 1 P (1,1), Q  ,   1, 1   OP OQ 则  0 ,所以 POQ   2  , -1 x  同理; 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为 y  kx m  , 由相切可得点 O 到直线 y  kx m  的距离 d  m  1 2 k  1 , 即 2 m k 2 1  , 17 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 由    2 y y   23 x 4  kx m  ,得 2 k  3  2 x  2 kmx m  2   ,则 0  , 4 0 设 1 P x y , 2 ( Q x y ,则由韦达定理可得 ( ) ) , , 1 2 x 1  x 2   km 2 2 k 3  , x x 1 2  2 m 2 k   4 3 , 又因为 y y 1 2   kx m kx m k x x 1 2    1 2 2     km x 1   x 2 2  , m 即 y y 1 2   4 2  2 k m 2 k   3  2 2 k m 2 2 k 3  2  m , 所以 x x 1 2  y y 1 2  2 m 2 k   4 3  2  2 k m 2 k   3  4  2 2 k m 2 2 k 3   m 2  2 m 4  1  2  k 4 2 3   k 又因为 2 m k 2 1 x x  ,所以 1 2 y y 1 2  0   OP OQ 所以  0 ,即 POQ   ,  2 综上所述: POQ 是定值,且该定值是  2 。 【关键点拨】此题的难点在第二问上,而第二问的关键点是由特殊到一般的思想,可以判 断出 POQ 是定值  2 。从而为求解当直线l 的斜率存在时,提供了解题思路。 【命题依据】椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系一直是高考考查的重点和热 点,意在考查学生的转化与划归、特殊到一般的思想。 21. 解:(Ⅰ)由条件可知,函数 ( ) f x 的定义域是(0, ) 。 由 f x ( )  1 2 x  a ln x 可得 f x '( )   2 3 x   a x 2  3 2 ax x 。 ①当 0a  时, '( ) 0 x  在 (0, f ) 上恒成立,故 ( ) f x 在(0, ) 上单调递减; ②当 0a  时,当 0 x   2 a 时, '( ) 0 f x  , 18 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 当 x  时, '( ) 0 f x  ,则 ( ) f x 在 2 a (0, 2 a ) 上单调递减,在 2( a ,  上单调递增。 ) 综上可知:当 0a  时, ( ) f x 在 (0, ) 上单调递减;当 0a  时, ( ) f x 在 (0, 2 a ) 上单调递减, 在 2( a ,  上单调递增。 ) (Ⅱ)由(1)可知,当 0a  时, ( ) f x 至多 1 个零点,故不满足条件; 当 0a  时, ( ) f x 在 (0, 2 a ) 上单调递减,在 2( a ,  上单调递增。 ) 所以 f x ( ) min   a 2 a 2 ln 2 a , ①当 ②当 a 2 a 2  a 2 2ln a  a 2 2ln a  时,即 0 0   ,此时 ( ) f x 至多 1 个零点,故不满足条件; a 2 e  ,即 2 e ,即 0 a 2 a  , 1 e 又因为  1 f   ,所以   1 0 1 f  f     2 a      0 ,又因为 ( ) f x 在 2( a ,  上单调递增。 ) 所以 ( ) f x 在 2( a ,  上有且只有 1 个零点; ) 当 x  (0, 2 a ) 时,令  g x   ln x  ,则   g x 1 x    1 x 1 2 x  1x  2 x , 所以  g x 在 (0,1) 上单调递减,在(1,  所以 ln x   , 1 x ) 上单调递增。所以  g x  g  1   , 1 0 19 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 所以 f    1 a     2 a  a 1ln a  2 a  a   a   0 ,又因为当 2 e 时,所以 a 1 a  , 2 a 所以 1   a  f     f     所以 ( ) f x 在 (0, 2 a     2 a )  0 ,又因为 ( ) f x 在 (0, 2 a ) 上单调递减, 上有且只有一个零点, 所以 1 a  x 1  2 a  x 2 1  ,所以 2 x  x 1  1a  a 。 【关键点拨】第一问的关键点是对参数的讨论。第二问的关键点是确定两个零点所在的范围,是 利用零点存在性定理,找到“动态点”,一般通过放缩思想找到“动态点”,同时这个“动态点”是不唯一 的,也就是根据题目的要求,去找“动态点”,比如此题的 1 a 。 【命题依据】函数的单调性、函数零点等问题一直是导数压轴题的热门命题方向,意在让学生通 过分类讨论思想、转化与划归思想将问题解决。 22. 解:(Ⅰ)因为 A 点对应的参数为 2 ,所以将 t  代入l 的参数方程, 2 得 x       y  2- 2 2+  2 2 2  2 ,即  A  ,同理可得  1,3 1,1B , 所以 AB    1 1  2    3 1  2  2 2 ; (Ⅱ)存在实数 m ,使得 PC PD  8 2 。理由如下: 由   sin 2  cosm  ,可得 2y mx ,将  x     y 2- 2 t 2+ 2 2 t 代入 2y mx , 20 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 得  t  2 4 2   m t 2   8 0 则   2  m  4 2  ,因为 32 0m  ,所以 0  , 设 ,C D 两点对应的参数分别为 1 2,t t , 由韦达定理可得 t 1  t 2    4 2   m t t 1 2 , 2  , 8 因为 1 2 t t  ,且 1 t 0 t  ,所以 1 t 0 2 t 20,  , 0 所以 PC PD t  1   t 2    t 1 所以 4m  。  ,即 4 2 t  2 m 2  8 2 , 【关键点拨】理解直线参数方程中的参数的几何意义。 【命题依据】直线参数方程中参数的几何意义、极坐标方程中的的几何意义等是参数方程与极 坐标方程中的主要命题方向,大多大同小异,难度不大,意在考查学生的转化与划归思想。 23. 解:(Ⅰ)由 ( ) 4 f x  可得| 2 x 1|   | x 1| 4   。 当 当 x x   时,不等式可变为(1 2 )  1  ( x 1) 4   ,解之得 x   ,故 4 3 x   ;(2 分) 4 3 x    时,不等式可变为 (1 2 ) 1  x 1 2  ( x 1) 4   ,解之得 x   ,故 x  ; 2 当 1 2 x  时,不等式可变为(2 x 1)   ( x   ,解之得 4 1) 4 3 x  ,故 4 3 x  。 综上可知,原不等式的解集为 (   , 4 3 ]  [ 4 3 ,  ) ; f x ( Ⅱ)证明:由(1)知 ( ) 1   x x 3 ,          x    x x 3 ,  2, 1 1 2  x 1 2 , 21 2019 年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析 可知 )(xf 的最小值为 3 2 ,所以 q m  ,所以3 3 2  12 p  3 pq , 即 1 p  4 q  ,由基本不等式可知: 1 p q   ( p q  )( 1 p  4 q ) = p 45  q  q p   5 2 p 4 q  q p  。 9 当且仅当 4 p q q  时,即 3, p q p  时等号成立。 6 所以 p q  。 9 【命题依据】绝对值不等式、绝对值函数、基本不等式、恒成立等问题是该板块知识的主流命题 方向,难度不大。 22

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