江苏专用2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明课时分层训练

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第七章 数列、推理与证明 第 38 课 直接证明与间接证明课时分层训 练 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法; ④分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的个数有____________.(填序号) ①②③④⑤ [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确.] 2.用反证法证明命题:若整数系数的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理实数根, 则 a,b,c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是____________.(填序号) ①假设 a,b,c至多有一个是偶数; ②假设 a,b,c至多有两个偶数; ③假设 a,b,c都是偶数; ④假设 a,b,c都不是偶数. ④ [“至少有一个”的否定为“一个都没有”,即假设 a,b,c都不是偶数.] 3.若 a,b,c为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是____________. 【导学号:62172207】 ①ac2<bc2; ②a2>ab>b2; ③ 1 1 < a b ; ④ b a > a b . ② [a2-ab=a(a-b), ∵a<b<0,∴a-b<0, ∴a2-ab>0, ∴a2>ab. 又 ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, 即 a2>ab>b2.] 4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 b2-ac < 3a”索的因应是________.(填序号) ①a-b>0; ②a-c>0; ③(a-b)(a-c)>0; ④(a-b)(a-c)<0. ③ [由题意知 b2-ac< 3a⇐b2-ac<3a2 ⇐(a+c)2-ac<3a2 ⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0 1 ⇐-2a2+ac+c2<0 ⇐2a2-ac-c2>0 ⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.] 5.用反证法证明“若 x2-1=0,则 x=-1 或 x=1”时,应假设__________. x≠-1 且 x≠1 [“x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”.] 6.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n的大小关系是__________. m<n [法一(取特殊值法):取 a=2,b=1,得 m<n. 法 二 ( 分 析 法 ) : a- b< a-b⇐ b+ a-b> a⇐a<b+ 2 b· a-b+a-b⇐ 2 b· a-b>0,显然成立.] 7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立的 b a a b 条件的个数是__________. 3 [要使 + ≥2,只要 >0,且 >0,即 a,b不为 0 且同号即可,故有 3 个.] b a a b b a a b 8.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)____________0.(填“>”“<”或“=”) 【导学号:62172208】 < [∵x1+x2>0,∴x1>-x2, 又 f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递减, 故 f(x)在 R 上单调递减, 故 f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 所以 f(x1)+f(x2)<0.]  9.已知函数 f(x)=   a+b 1  x,a,b是正实数,A=f    2    2 2ab   ,B=f( ab),C=f   a+b   ,则 A, B,C的大小关系为____________. A≤B≤C [∵ ≥ ab≥ a+b 2 2ab a+b  ,又 f(x)=   1 x在 R 上是减函数.  2  a+b  ∴f     2 2ab   ≤f( ab)≤f   a+b   ,即 A≤B≤C.] 10.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D上是凸函数,则对于区间 D内的任 意 x1,x2…,xn,有 f x1 +f x2 +…+f xn n x1+x2+…+xn   ≤f     n ,已知函数 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为____________. 3 3 2 [∵f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数, 且 A、B、C、∈(0,π), 2 A+B+C    =f ≤f       3 π  3  , f A +f B +f C ∴ 3 即 sin A+sin B+sin C≤3sin π 3 = 3 3 2 , 所以 sin A+sin B+sin C的最大值为 .] 3 3 2 二、解答题 11.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. [证明] 要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b成立, 只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. ∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立, ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. 12.设数列{an}是公比为 q的等比数列,Sn是它的前 n项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? 【导学号:62172209】 [解] (1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 2=S1S3, 即 a2 1(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2), 因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 综上,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,数列{Sn}不是等差数列. B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.设 x,y,z>0,则三个数 + , + , + ____________.(填序号) y x y z z x z y x z x y ①都大于 2; ②至少有一个大于 2; ③至少有一个不小于 2; ④至少有一个不大于 2. 3 ③ [因为 x>0,y>0,z>0, y y  + 所以   x z   + z z  +   x y   x x  + +   z y   = y x  +   x y   y z  + +   z y   + x z  +   z x   ≥6, 当且仅当 x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于 2.] 2.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则下列说 法正确的是____________.(填序号) ①△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形; ②△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形; ③△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形; ④△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形; ④ [由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假 设△A2B2C2 是锐角三角形.      sin A2=cos A1=sin    sin B2=cos B1=sin    sin C2=cos C1=sin   -A1 , π  2  π  2  π -C1  2  -B1 , -A1,  A2= -B1, -C1. π 2 π 2 π 2    B2= C2= 由 得 那么,A2+B2+C2= π 2 ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形.] 1 3.已知数列{an}满足 a1= 2 ,且 an+1= (n∈N+). an 3an+1 1  (1)证明数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式;   an   1 (2)设 bn=anan+1(n∈N+),数列{bn}的前 n项和记为 Tn,证明:Tn< . 6 [解] (1)由已知可得,当 n∈N+时,an+1= an . 3an+1 4 两边取倒数得, 1 = an+1 3an+1 an 1 an = +3, 1 即 an+1 1 an - =3, 1  所以数列 是首项为   an   1 a1 =2,公差为 3 的等差数列, 其通项公式为 = +(n-1)×3=2+(n-1)×3=3n-1. 1 an 1 a1 所以数列{an}的通项公式为 an= 1 . 3n-1 (2)证明:由(1)知 an= 1 , 3n-1 故 bn=anan+1= × 1 3 n+1 -1 1 3n-1 1 3n-1 3n+2 1 3n-1 - 1   3n+2  , = = 1   3 故 Tn=b1+b2+…+bn = 1  ×  3  1 - 2 1   5  + 1 3  ×   1 - 5 1   8  1  × +…+  3  = 1   3 1 - 2 1   3n+2  1 = - 6 1 3 × 1 . 3n+2 1 因为 3n+2 1 >0,所以 Tn< 6 . 1 3n-1 - 1   3n+2  4.若 f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数 f(x)是[a,b]上的“四 维光军”函数. 1 3 x2-x+ (1)设 g(x)= 2 2 是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数 b的值; (2)是否存在常数 a,b(a>-2),使函数 h(x)= 是区间[a,b]上的“四维光军”函 1 x+2 数?若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由. [解] (1)由题设得 g(x)= 1 2 (x-1)2+1,其图象的对称轴为 x=1,区间[1,b]在对称 轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b, 即 1 3 b2-b+ =b,解得 b=1 或 b=3. 2 2 5 因为 b>1,所以 b=3. (2)假设函数 h(x)= 在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数, 1 x+2 因为 h(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递减, 1 x+2 h a =b,  所以有  h b =a,  a+2 =b,  1  即  b+2 =a, 1 解得 a=b,这与已知矛盾.故不存在. 6

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